LABORATORIUM 4

 

Zagadnienia do przygotowania

 

Zadanie 1. Ocena istotności średnich arytmetycznych

Dla próby losowej 45 posiadaczy indywidualnych rachunków w pewnym banku zbadano poziom ich sald w dniu 30.03.2000r. Okazało się, że średnio arytmetyczne saldo wynosiło 5629 zł, przy przeciętnym odchyleniu standardowym obliczonym z nieobciążonej wariancji równym 734 zł. Dyrekcja banku stwierdziła jednak, że rzeczywiste przeciętne saldo wszystkich posiadaczy kont indywidualnych było w tym dniu wyższe i wynosiło 5753 zł.

 

Zadania do wykonania

  1. Przyjmując poziom istotności  zbadaj, czy różnicę liczbowej oceny przeciętnych sald bankowych (5629 zł – 5753 zł = -124 zł) można uznać (przy lewostronnej hipotezie alternatywnej ) za statystycznie istotną. Obliczenia wykonaj dla krytycznego poziomu istotności wyznaczonego przy pomocy programu STATISTICA (opcja Różnica między dwiema średnimi – rozkład normalny) oraz dla krytycznego poziomu istotności wyznaczonego przy pomocy kalkulatora prawdopodobieństwa (wykorzystaj test istotności t).
  2. Omów otrzymane wyniki

 

Wskazówki

Hipotezy:

 

Wyznaczenie krytycznego poziomu istotności  z wykorzystaniem opcji Różnica między dwiema średnimi – rozkład normalny programu STATISTICA.

  1. Otwórz pusty arkusz.
  2. Z menu Statystyka wybierz polecenie Statystyki podstawowe i tabele.
  3. Zaznacz Inne testy istotności i naciśnij OK.
  4. Wypełnij sekcję Różnica między dwiema średnimi ( rozkład normalny) jak na rysunku poniżej i naciśnij przycisk Oblicz.

  1. Poszukiwany krytyczny poziom istotności to p = 0.1316.

 

Weryfikacja hipotezy zerowej.

  1. Wyznacz wartość liczbową testu istotności t ze wzoru:  = -1,1332660, gdzie t zmienna losowa o asymptotycznym rozkładzie Studenta określonym przez s = n – 1 stopnie swobody, 

    -średnia     arytmetyczna, m0 – wartość oczekiwana, - odchylenie standardowe, n – liczebność próby losowej.
  2. Wyznacz lokalizację lewostronnego przedziału krytycznego dla hipotezy zerowej weryfikowanej testem t – wyznacz przedział . Wartość  wyznacza się przy pomocy kalkulatora prawdopodobieństwa wstawiając p = 0.05 oraz df = 44.
  3. Sprawdź, czy wartość liczbowa testu istotności t należy do lewostronnego przedziału krytycznego . Jeżeli wartość liczbowa testu istotności t nie należy do przedziału , to nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej na poziomie istotności . W przeciwnym wypadku należy odrzucić hipotezę zerową na poziomie istotności .
  4. Dokonaj oceny stopnia statystycznej jednoznaczności decyzji odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej. Na deklarowanym poziomie istotności  należy:

·        hipotezę zerową odrzucić, jeżeli  oraz jednocześnie uznać podjętą decyzję za względnie jednoznaczną, gdy  (gdy  decyzja jest niejednoznaczna);

·        nie odrzucać hipotezy zerowej, jeżeli  oraz jednocześnie uznać podjętą decyzję weryfikacyjna za względnie jednoznaczną, gdy  (gdy  decyzja jest niejednoznaczna).

 

Wyznaczenie krytycznego poziomu istotności z wykorzystaniem kalkulatora prawdopodobieństwa.

1.      Uruchom kalkulator prawdopodobieństwa.

2.      W polu t wprowadź wartość liczbową testu istotności wyznaczoną ze wzoru  natomiast w polu df wprowadź 44. Naciśnij Oblicz.

 

 

3.      Poszukiwany krytyczny poziom istotności to p = 0.131620.

 

Wyniki: , , .

 

Zadanie 2. Ocena istotności średnich arytmetycznych

W pewnym małym miasteczku w celu przeprowadzenia badań budżetów domowych wylosowano niezależnie dwie losowe próby 2-osobowych gospodarstw domowych w dwóch ich kategoriach: 37 gospodarstw domowych pracowniczych oraz 14 gospodarstw domowych emerytów. Obserwowaną zmienną losową były m.in. wydatki na żywność w czerwcu 2000r. Otrzymane wyniki wskazują, że średnie arytmetyczne oraz wariancje wydatków na  żywność wynosiły: dla pracowniczych gospodarstw domowych 456.3 zł i 18823.8 zł2 oraz dla gospodarstw domowych emerytów: 382.9 zł i 31342.3 zł2.

 

Zadania do wykonania

  1. Deklarując poziom istotności 0.01 należy statystycznie uzasadnić, czy różnica oceny średnich wydatków żywnościowych w obu zbiorowościach 2-osobowych gospodarstw domowych (456.3 zł – 382.9 zł = 73.4 zł) jest pochodzenia przypadkowego, czy też ma charakter różnicy nieprzypadkowej (istotnej). Obliczenia wykonaj dla krytycznego poziomu istotności wyznaczonego przy pomocy programu STATISTICA (opcja Różnica między dwiema średnimi – rozkład normalny) oraz dla krytycznego poziomu istotności wyznaczonego przy pomocy kalkulatora prawdopodobieństwa (wykorzystaj test istotności t).
  2. Omów otrzymane wyniki.

 

Wskazówki

Hipotezy:

·        hipoteza zerowa H0: E(X1) = E(X2), gdzie E(X1) = m01 = 456.3, E(X2) = m02 = 382.9;

·        prawostronna hipoteza alternatywna H1: E(X1) > E(X2).

 

Wyznaczenie krytycznego poziomu istotności.

Krytyczny poziom istotności wyznacz jak w zadaniu 1. Odznacz jednak opcję Średnia z pomiarów 1 a średnia z populacji 2 (patrz rysunek poniżej). Zastanów się jak obliczyć odchylenie standardowe wprowadzone w oknie z rysunku poniżej.

 

Proces weryfikacji hipotezy zerowej jest taki sam jak dla zadania 1. Należy jednak skorzystać z testu istotności , gdzie t zmienna losowa o asymptotycznym rozkładzie Studenta określonym przez s = n – 1 stopnie swobody,  jest błędem losowym różnicy dwóch średnich arytmetycznych.

 

Wyniki: , , .

 

Zadanie 3. Ocena istotności wariancji i odchylenia standardowego

Dla losowej próby 11 krajów europejskich przeprowadzono porównanie spożycia mięsa w 1999 r. (rocznie,  w kg na 1 osobę) i okazało się, że średnia arytmetyczna równa się 84.4 kg/osobę, a odchylenie standardowe wynosi 23.8 kg/osobę.

 

Zadania do wykonania

  1. Deklarując poziom istotności  sprawdź przypuszczenie, że , wobec hipotezy alternatywnej . Sprawdź, czy decyzja odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej jest jednoznaczna lub niejednoznaczna.
  2. Deklarując poziom istotności  sprawdź przypuszczenie, że , wobec hipotezy alternatywnej . Sprawdź, czy decyzja odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej jest jednoznaczna lub niejednoznaczna.
  3. Omów otrzymane wyniki.

 

Wskazówki

Jako testu istotności użyj testu , gdzie  jest zmienną losową o asymptotycznym rozkładzie chi-kwadrat z s = n – 1 stopniami swobody,  wariancja uzyskana z próby losowej,  oczekiwana wariancja.

Wyniki:

  1. Wyniki dla zadania z punktu 1: , , .
  2. Wyniki dla zadania z punktu 2: , , .

 

Zadanie 4. Ocena istotności wariancji i odchylenia standardowego

Przeprowadzono badanie zmienności cen 98-oktanowej benzyny bezołowiowej w losowo dobranych krajowych stacjach paliwowych w końcu czerwca 1999 r. (n1 = 43 badanych stacji) oraz w końcu czerwca 2000 r. (n2 = 51 badanych stacji). Stwierdzono, że wariancja cen była następująca:  (groszy)2 oraz  (groszy)2.

 

Zadania do wykonania

  1. Deklarując poziom istotności  sprawdź przypuszczenie, że , wobec hipotezy alternatywnej . Sprawdź, czy decyzja odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej jest jednoznaczna lub niejednoznaczna.
  2. Deklarując poziom istotności  sprawdź przypuszczenie, że , wobec hipotezy alternatywnej . Sprawdź, czy decyzja odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej jest jednoznaczna lub niejednoznaczna.
  3. Omów otrzymane wyniki.

 

Wskazówki

Dla zadania z punktu 1 użyj testu istotności , natomiast dla zadania z punktu 2 użyj testu istotności . F jest zmienną losową o asymptotycznym rozkładzie Fishera-Snedecora całkowicie

określonym przez s1 = n1 -1 oraz s2 = n2 -1stopnie swobody

Wyniki:

  1. Wyniki dla zadania z punktu 1: , , .
  2. Wyniki dla zadania z punktu 2: , , .

 

Zadanie 5. Ocena istotności wariancji i odchylenia standardowego

Pobrano losową próbę 214 małych firm prywatnych i interesowano się ich zadłużeniem bankowym według stanu na 01.07.2000 r. Z badań wynikło, że wariancja zadłużenia wynosiła 1,7424 (mln zł)2.

 

Zadania do wykonania

  1. Deklarując poziom istotności  sprawdź, czy odchylenie standardowe zadłużenia we wszystkich (nie tylko badanych) małych firmach nie jest wyższe od 1,5 (mln zł)2.
  2. Omów otrzymane wyniki.

 

Wskazówki

Hipotezy:

·        hipoteza zerowa  (mln zł)2;

·        lewostronna hipoteza alternatywna  (mln zł)2.

 

Ponieważ n > 120 zamiast testu istotności  (patrz zadanie 3) należy użyć testu istotności postaci , który jest zmienną losową o asymptotycznym standardowym rozkładzie normalnym SN(0,1).

 

 

W treści zadania podane jest odchylenie standardowe wyznaczone z nieobciążonej wariancji, dlatego też, aby obliczyć wartość liczbową powyższego testu istotności należy skorzystać z zależności .

 

Wyniki: , , .