LABORATORIUM 2

 

Zagadnienia do przygotowania

  1. Zmienna losowa dyskretna (skokowa).
  2. Zmienna losowa ciągła.
  3. Punktowe rozkłady zmiennej losowej dyskretnej.
  4. Przedziałowe rozkłady zmiennej losowej ciągłej.
  5. Funkcja gęstości.
  6. Dystrybuanta.
  7. Rozkład Bernulliego i Poissona.
  8. Rozkład normalny.
  9. Standardowy rozkład normalny.
  10. Rozkład logarytmiczno-normalny.
  11. Rozkład ch-kwadrat.
  12. Rozkład t-Studenta.
  13. Rozkład Fishera-Snedecora.

Zadanie 1. Rozkład normalny i jego transformacje

W trzech spółkach Skarbu Państwa postanowiono rozdzielić fundusze premiowe zgodnie z rozkładem normalnym, ale z różnymi poziomami parametrów m oraz s. Chodziło o to, aby zdecydowana większość osób otrzymała premię bliską premii przeciętnej, a otrzymanie premii zdecydowanie (relatywnie) bardzo wysokiej lub bardzo niskiej było identyczne i prawie niemożliwe. Przyjęto założenia, że pary parametrów będą miały poziomy liczbowe: w pierwszej spółce m1 = 1000zł, s1 = 200zł; w drugiej spółce m2 = 1500zł, s2 = 400zł, w trzeciej spółce m3 = 1800zł, s3 = 600zł.

 

Zadania do wykonania

  1. Wyznacz jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pracownicy trzech spółek otrzymają premie poniżej 1200zł.
  2. Sporządź wykresy funkcji gęstości i dystrybuant rozkładu normalnego dla wszystkich spółek.
  3. Dla wszystkich spółek wyznacz prawdopodobieństwo realizacji premii w przedziale od 1400zł do 1600zł.
  4. Dla wszystkich spółek wyznacz prawdopodobieństwo tego, że pracownicy otrzymają premię z zakresu (m-3s,m+3s).
  5. Omów otrzymane wyniki.

 

Wskazówki

Wykonanie punktu 1, 2

  1. Menu Statystyka/Kalkulator prawdopodobieństwa/Rozkłady.
  2. Zaznacz Z (Normalny).
  3. Odznacz Stałe skalowanie.
  4. Zaznacz Utwórz wykres.
  5. Wprowadź X = 1200, średnia = m, odch. stad = s.
  6. Naciśnij Oblicz.
  7. Obliczone prawdopodobieństwo jest w polu p.

Poprawienie etykiet na wykresie

  1. Kliknij dwa razy na wykresie.
  2. Aktywuj zakładkę Główne jednostki.
  3. Wybierz oś X.
  4. W polu Tryb wybierz Ręcznie.
  5. W polu Wiel. kroku wpisz np. 100.
  6. Naciśnij OK.

Wykonanie punktu 3

  1. Dla wszystkich spółek oblicz prawdopodobieństwo F1(1600) = P1(X≤1600), że pracownicy otrzymają premie poniżej 1600zł.
  2. Dla wszystkich spółek oblicz prawdopodobieństwo F2(1400) = P2(X≤1400), że pracownicy otrzymają premie poniżej 1400zł.
  3. Szukane prawdopodobieństwo: P(1400 < X ≤ 1600) = F1(1600)-F2(1400)

 

Zadanie 2. Rozkład normalny i jego transformacje

Dysponujemy danymi o wydatkach wojskowych 39 europejskich krajów w 1996 (plik PKB.sta), przy czym wydatki te przedstawiono w postaci ich procentowego udziału w PKB (zmienna losowa ciągła).

 

Zadania do wykonania

  1. Wyznacz podstawowe statystyki opisowe (średnia, mediana, odchylenie standardowe, skośność, kurtoza, współczynnik zróżnicowania) i omów otrzymane wyniki.

  1. Wyrównaj rozkład empiryczny do teoretycznego rozkładu normalnego.

  1. Korzystając z kalkulatora prawdopodobieństwa (patrz zadanie 1) oblicz jaka jest oczekiwana liczba krajów (zgodna z rozkładem normalnym), w  których wydatki na zbrojenia są w przedziale (4,5] PKB. Wzór na oczekiwaną liczba krajów:
  2. Porównaj wyniki otrzymany w punkcie 3 z wynikami uzyskanymi w punkcie 2.
  3. Utwórz wykres rozkładu obserwowanego i oczekiwanego (patrz rysunek poniżej).

 

 

Wskazówki

Wyrównanie rozkładu empirycznego do teoretycznego rozkładu normalnego.

  1. Menu Statystyka/Dopasowanie rozkładów.
  2. Wybierz Rozkłady ciągłe, Normalny i naciśnij OK.
  3. Wyświetl zakładkę Parametry.
  4. Wybierz zmienną PKB (było na poprzednim laboratorium).
  5. Wprowadź dane jak na rysunku poniżej.

  1. Naciśnij Podsum.

Utworzenie wykresu.

  1. Menu Statystyka/Dopasowanie rozkładów.
  2. Wybierz Rozkłady ciągłe, Normalny i naciśnij OK.
  3. Wyświetl zakładkę Podstawowe.
  4. Wybierz zmienną PKB (było na poprzednim laboratorium).
  5. Naciśnij Wykres rozkładu obserw. i oczekiwanego.

 

 

Zadanie 3. Rozkład logarytmiczno-normalny i jego transformacje

Według danych z 7.12.1999 wartość rynkowa (w mln zł) 25 największych indywidualnych posiadaczy akcji warszawskiej giełdy zabrana została w pliku Kapitał.sta. Widać od razu, że empiryczny rozkład pieniężnej wartości posiadanego kapitału jest silnie prawostronnie asymetryczny. Wyrównanie do postaci rozkładu normalnego byłoby zatem nie trafne. Należy dokonać wyrównania tego rozkładu  do teoretycznego rozkładu logarytmiczno-normalnego (LN).

 

Zadania do wykonania

  1. Dla danych empirycznych wyznacz statystyki opisowe oraz oblicz względne zróżnicowanie Vx (było na ostatnim laboratorium). Omów otrzymane wyniki.

  1. Wyrównaj rozkład empiryczny do teoretycznego rozkładu logarytmiczno-normalnego.

  1. Korzystając z kalkulatora prawdopodobieństwa (patrz zadanie 1) oblicz jaka jest oczekiwana liczba osób (zgodna z rozkładem logarytmiczno-normalnym), o kapitale od 407,14286 mln zł do 542,85714 mln zł . Wzór na oczekiwaną liczba krajów:
  2. Porównaj wyniki otrzymany w punkcie 3 z wynikami uzyskanymi w punkcie 2.
  3. Utwórz wykres rozkładu obserwowanego i oczekiwanego (patrz rysunek poniżej).

 

Wskazówki

Postępuj podobnie jak w trakcie wykonywania zadania 2. Pamiętaj jednak, aby w odpowiednim momencie wybrać rozkład logarytmiczno-normalny (Lognormalny) zamiast rozkładu normalnego.

 

Zadanie 3. Rozkład statystyk z prób losowych

Zadania do wykonania

  1. Ile wynosi niewiadoma wartość krytyczna zmiennej chi-kwadrat przy założeniu, że prawdopodobieństwo 1-=0,95 oraz liczba stopni swobody s = 5.
  2. Ile wynosi niewiadome prawdopodobieństwo 1- jeżeli liczba stopni swobody s = 20, zaś wartość krytyczna .
  3. Zaprezentuj otrzymane wyniki graficznie.

 

 

 

Wskazówki

Użyj kalkulatora prawdopodobieństwa, którego używałeś w zadaniu 1. W oknie kalkulatora df oznacza liczbę stopni swobody. Gdy chcesz wyznaczyć wartość krytyczną na podstawie znanego prawdopodobieństwa zaznacz Oblicz X z p.

 

Zadanie 4. Rozkład statystyk z prób losowych

Zadania do wykonania

  1. Ile wynosi niewiadoma wartość krytyczna zmiennej t (rozkład t Studenta) jeżeli prawdopodobieństwo 1-=0,43 natomiast liczba stopni swobody s = 35.
  2. Ile wynosi niewiadome prawdopodobieństwo 1- jeżeli liczba stopni swobody s = 19, zaś wartość krytyczna .
  3. Zaprezentuj otrzymane wyniki graficznie.

 

 

 

 

 

Zadanie 5. Rozkład statystyk z prób losowych

W badaniach dwóch niezależnych prób losowych (n1 = 39 wiejskich gospodarstw domowych w powiecie A oraz n2 = 46 wiejskich gospodarstw domowych w powiecie B) stwierdzono, że nieobciążone wariancje liczby posiadanych hektarów użytków rolnych wynosiły: ,

Zadania do wykonania

  1. Określ wartość liczbową zmiennej standaryzowanej F = .

 

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że iloraz F nie będzie wyższy od 1,6612.
  2. Zaprezentuj otrzymane wyniki graficznie.

 

 

Zadanie 6

Dane ilustrujące nakłady na badania i rozwój przypadające na jednego badacza w 22 krajach zostały zebrane w pliku BadaniaRozwój.sta

 

Zadania do wykonania

  1. Dokonaj standaryzacji danych (w pustej kolumnie).
  2. Ile wynosi średnia i odchylenie standardowe w rozkładzie empirycznym i czy po standaryzacji zmiennej statystyki te ulegają zmianie:

a)      132,3; 66,5; nie,

b)      151,7; 32,6; tak,

c)      132,3; 66,5; tak,

d)      151,7; 32,6; nie,

e)      172,8; 47,6; nie,

f)        156,0; 39,4; częściowo.

 

Zadanie 7

Banki otwierając kolejne oddziały w dużych miastach są zainteresowane m.in. udziałem procentowym dochodów własnych w budżetach gmin. Ustalono, m.in. że w 430 gminach Polski rozkład tych dochodów jest zbliżony do normalnego z parametrami: średni udział dochodów własnych wynosi 34,22%, a odchylenie standardowe 2,9%.

 

Zadania do wykonania

Stwierdzić, czy szansa otwarcia nowego oddziału w polskiej gminie, mającej w swoim budżecie udział dochodów własnych większy niż 40%, jest:

a)      niższa od 1%.

b)      niższa od 2%.

c)      niższa od 3%.

d)      wyższa od 4%.

 

Zadanie 8

Stwierdzono na podstawie obserwacji z kilku lat działalności, że roczne wpływy z gastronomi zlokalizowanej w sieci francuskich hoteli „Bonjour” mają rozkład zbliżony do normalnego N(1,5;0,5). Eksperci-pesymiści szacują, że nowo wybudowane hotele tej sieci osiągną obroty poniżej 1 mln, natomiast eksperci-optymiści twierdzą, że obroty będą się kształtować w przedziale od 2 do 2,5 mln.

 

Zadania do wykonania

Czy szanse na to są:

a)      takie same,

b)      większe dla opinii pesymistów,

c)      większe dla opinii optymistów,

d)      nie  można jednoznacznie porównać?

 

Zadanie 9

We wnioskowaniu statystycznym rozliczne zastosowania mają rozkłady zmiennych standaryzowanych t (rozkłąd t-studenta S(s)) oraz U (standaryzowany rozkład normalny N(0;1). Dysponujemy danymi z pakietu komputerowego STATISTICA postaci:

1)      rozkład t-Studenta: t = 1,97993; df = 120,

2)      standaryzowany rozkład normalny: U = -1.9599964; p = 0,025; średnia = 0; odch. std. = 1.

 

Zadania do wykonania

Na poziomie prawdopodobieństwa 0,95 wyznaczyć liczbowo końce przedziałów zmiennych standaryzowanych t, U oraz na tej podstawie podać, który (i dlaczego) z tych przedziałów jest wyraźnie większy:

a)      pierwszy,

b)      drugi,

c)      równe,

d)      w przybliżeniu równe.